와 같은 적분의 수치값은 단순히 일차원 적분의 algorithm을 이용하여 적분하기에는 매우 어려운 점이 많다. 특히 적분의 하한, 상한들이 일정한 값이 아니라, 등과 같이 다음에 적분 될 변수의 함수인 경우에는 특히 어렵다. 이럴 때 매우 용이하게 적분할 수 있는 방법이 바로 Monte Carlo Integral이다. 여기서도 importance sampling method를 이용하여 적분하는 방법은 다음과 같다. 구간 (a,b)안에 있는 난수를 충분한 횟수 N 번 발생 시켜 그 난수 열을 이라 하고, 구간 (c,d)안에 있는 난수를 충분한 횟수 M 번 발생 시켜 그 난수 열을 이라 하고, 구간 (e,f)안에 있는 난수를 충분한 횟수 L번 발생 시켜 그 난수 열을 이라 하면 적분 값은

으로부터 계산할 수 있다.

    4. 반복법(iteration method)과의 조화
       i) Monte Carlo 적분법에서의 정확도의 추정은 난수 발생 횟수와 적분 결과 값의 상관 관계를 구하면 된다. 가령 난수를 100 번 발생 시켰을 때의 적분 값이 9.576이고 1000 번 발생 시켰을 때의 적분 값이 9.432이고, 10000 번 발생 시켰을 때의 적분 값이 9.441이고, 100000 번 발생 시켰을때의 적분 값이 9.447이라면 적분 값이 소수점 이하 2 째자리까지 정확히 구하려면 적어도 난수를 10000 번이상 발생시켜야  적분 값이 제대로 나온다고 추정할 수 있다.
      ii)인간이나 computer가 주는 한계 때문에 난수 발생횟수의 최대치가 N 번으로 한정된다면, N 번을 전부를 1 번의 적분 값 추정에 다 사용할 것이 아니라, 횟수를 k로 나누어 난수 발생 횟수가 N'=N/k인 Monte Carlo Intergral을 k 번하여 그 결과 적분 값을 평균하는 것이 더 정확하다. (즉 상대오차가 로 줄어들음.)
      따라서 i)과 ii)의 방법을 적당히 조화하는 것이 매우 중요함.

   5. Monte Carlo Integral의 구현

       이제 VB 프로그램으로 적분 값

Mpnte Carlo Integral하는 프로그램을 작성해 보자. 여기서는 Hit and Miss method를 사용해 보자. 먼저 이 프로그램을 run하는 과정의 form의 모양을 보면 다음과 같다.

이 그림은 Buffon의 바늘 떨어 뜨리기 프로그램을 구현할 때와 form과 비슷한 형태를 갖고 있다. 이 프로그램의 form file, project file은 실행 file은  각각 MonInt.frm, MonInt.vbp, MonInt.exe와 같다.
   이제 이 프로그램을 구체적으로 살펴보자. form의 control의 속성 중 Picture Box인 picResult안에 있는 모든 control은 Buffon의 바늘 떨어 뜨리기 프로그램에서의 picResult안에 있던 control의 속성과 동일하므로 생략한다. 이제 나머지 control들을 위한 속성표를 작성해 보자.

다음으로 프로 그램 code를 작성해 보자.

먼저 일반 선언부를 보면 변수를 모두 선언한다는
Option Explicit
가 있고, 다음으로 난수 짝을 발생하는 총 횟수를 나타내는 전역 변수, gTotal과 그 중 hit한 수를 나타내는 gIn과 결과 적분 값의 4 배를 나타내는 Pi등이 전역 변수로 선언된다.
Dim gTotal As Long
Dim gIn As Long
Dim Pi As Double
 또 lblResult라는 label Box에 결과를 표시할 문자열 변수로 Info를 전역변수로 또 선언한다.
Dim Info As String

또 End Button을 click했을 때는 프로그램을 끝내는 procedure가 있다.
Private Sub cmdExit_Click()
End
End Sub

다음으로 프로그램이 시작되어 form이 뜰 때 gTotal과, gIn을 초기화 하는 프로그램은 다음과 같다.
Private Sub Form_Load()
gTotal = 0
gIn = 0
End Sub

다음으로 Hit and Miss를 구현하는 프로그램은 Hit, Miss라는 button을 click했을 때 시행되는데 그 source code를 이제 살펴보자.

Private Sub cmdHitMiss_Click()
먼저 필요한 변수들을 선언하고

Dim Count As Long
Dim CX, CY As Long
Dim Th As Double
Dim DX, DY As Double

좌표 중심을 원점으로 하는 반경 2000 twib인 1/4 원을 빨간색인 원을 그린다.
"circle (x,y), R, color, 시작 angle, 끝나는 angle"이라는 명령에서 시작 angle=0, 끝나는 angle=pi/2 = 1.5706으로 주면 1/4 원을 그리게 된다.
frmMonInt.Circle (linXax.X1, linXax.Y1), 2000, RGB(255, 0, 0), 0, 1.5706

다음으로 난수 발생의 seed를 바꾸고
Randomize
이제 난수 짝의 발생 횟수를 monitor하는 Count란 변수를 0으로 초기화 하고
Count = 0
Do While 구문을 이용하여 난수 짝을 10000 번 발생시켜 Monte Carlo Integral을 한다.
Do While Count < 10001
난수 발생 횟수를 하나 올리고
Count = Count + 1

이제 0 과 1 사이의 난수 두 개를 발생 시켜 각각 x(DX)와 y(DY)의 짝으로 한다.
DX = Rnd
DY = Rnd

다음으로 이 두수를 제곱하여 더하여 Th라 둔다.
Th = DX * DX + DY * DY

이제 난수 발생횟수를 하나 증가 시키고
gTotal = gTotal + 1

이 두수가 함수의 위에 찍히는 지 아래에 찍기 위해 그림에서 DX와 DY에 해당하는 위치 CX, CY로 구해 보자. 그림에서 반경 2000 twib이 실제 1로 환산되고, 원점의 x 좌표는 그림에서 linXax.X1이므로 CX는
CX = Int(DX * 2000 + linXax.X1)
이 되고 같은 방법으로
CY = Int(linXax.Y1 - DY * 2000)
이 된다. 이제 그림에 난수 발생으로부터 얻은 임의의 점이 주어진 함수 아래에 있는지 없는지를 판단하여
If Th <= 1 Then
있으면 Hit 횟수를 하나 증가시키고
   gIn = gIn + 1
Hit한 표시로 QBColor(1)으로 점을 찍고
  frmMonInt.PSet (CX, CY), QBColor(1)
Miss했으면
Else
Miss한 표시로 QBColor(7)으로 점을 찍고 
frmMonInt.PSet (CX, CY), QBColor(7)
End If

Loop

이제 이런 일을 10000번 했을 때 마다 적분 값을 구하는데 우리가 생각한 가상의 4 각형의 넓이가 1이므로 구하는 적분 값은 1*gIn / gTotal인데 이 값을 4 배하면 Pi 값이 되어야 하므로
Pi = 4 * gIn / gTotal
와 같이 Pi값을 계산한다. 그 결과를 needle program에서와 비슷한 방법으로 picResult에 그림을 그리고, lblResult에 문자열로 표시한다.
picResult.Circle (gTotal / 100 + cyLin.X1, cxLin.Y2 - Int(720 * Pi / 3.141592)), 20, RGB(255, 255, 255)
Info = "던진 횟수 = " + Str(gTotal) + Chr(13) + Chr(10)
Info = Info + "Hit한 횟수=" + Str(gIn) + Chr(13) + Chr(10)
Info = Info + "Pi= " + Str(Pi)
lblResult.Caption = Info

End Sub

연습문제:1. 을 이용하여 pi값을 Monte Carlo Intergral의 Important Sampling Method를 이용하여 구하는 source code를 위의 VB프로그램 중 "Private Sub cmdImpo_Click()" procedure에 삽입하라.

             2. 반경이 1 인 균일한 구형의 강체 내부에 구의 중심과 일치하는 중심을 갖는 모서리의 길이가 1/2인 정육면체를 파 내었다. 이 때 파낸 정육면체의 한 대각선을 중심축으로 하여 이 모양의 관성 모우멘트를 Monte Carlo Integral을 이용해 구하라.