Mechanics I: 선형미방정식:초기조건이 있는 해
( Initial value problem)
목적: 해를 해석적으로 구할 수 없는 미분 방정식(미방)의 해를
수치적으로 구하는 방법
#1.
선형 2계 미방을 2 개의 연립된 1 계 미방 2 개로 고치는 법:
물리학에서 가장 많이 보는 2
계 선형 미방(2nd order Differential Equation)의 형태는
(1)
이 된다. 이것을 연립된(coupled)
1 계 선형 미방 두 개로 고치려면
(A)
와
또는
(B)
로 고칠 수 있는데 미방 (
A) 와 (B)는 모두
(선)
라 할 수 있다. 따라서 미방 (1)을 풀려면 결국 미방 (선)을 수치적으로 적분하면 된다.
특히 우리가 미방
(1) 의 초기 조건 
를 만족하는 미방
(1)의 해를
구하는 것을 초기조건의 문제라 부른다.(
initial value problem)
#2 Euler method;
1 계 미방
(선)
초기 조건의 문제를 수치적으로 해석하는 법
가) 초기조건 
을 이용해서 
을 구하고
을 이용해서 
등을 구하고
...등등으로 해서 우리가 필요한 값 
까지 계차적으로 구한다.
나) 
에서 
을 구할 때
Euler method
는 단순히 미분의 정의를 이용하는 방법이다.
즉
이므로
로 구한다.
다) predictor-corrector method로 Euler method를 보정:
단순한 Euler의 Method 가 상당한 오차를 보일 수 있으므로 이 오차를 보다
나은 방향으로 고치는 방법은 (
)와 
사이의 미분 값의 변화를 고려한다.
이를 보정하는 방법으로 먼저 단순한
Euler method로 
를
(predictor)
을 이용하여
를 추정한다. 그러면 미분 값을 (
)의 미분 값
과 
에서의 미분 값 
의 평균 값으로
,
로 추정하여 결과인 
인 값 
을
(corrector)
로 구하는 방법이다.
#3 위상 공간( Phase-Space)
만약 1 차원 운동 하는 어떤 입자가 만족하는 운동방정식이
라면 이 입자의 속도와 위치는 각각
(A’)
와
또는
(B’)
를 만족할 것이다. 이때 위치와 속도로 이루어지는 추상적인 공간
을
위상 공간(phase space) 라 부른다. 따라서 입자의 운동은 시간이 변함에 따라
위상 공간에서의 궤도로 완전히 나타낼 수 있다.
예) 가령
와 같은 단조화운동의 위상공간에서의 운동은
(초기조건은 물론
)일 때
입자의 운동은 위상 공간에서
인 타원이 된다.
또 
와 같은 입자의 운동은 위상공간에서
원점으로 회전해서 들어가는 나선형의 곡선이 된다.
예) 단진자(simple pendulum)의 운동을 생각해 보자. 단진자의 운동에서 단진자의 줄과 연직이 이루는
각을 
라 하고, 단진자의 줄의 길이를 
이라 하면
가 되고 따라서
가 된다. 이를 두개의 연립된 1
계 미분방정식으로 분석해 보면
가 된다. 이 단진자의 운동을
predictor-corrector method로 구하는 방법을 알아보자.
에서 
를 구하는 방법은 다음과 같다.
먼저 predictor들은
로 된다. 따라서 우리가 구하는
corrector는
가 된다. 이러한 algorithm을 이용해 visual basic program의 form file, project file 및 execution file은